As abelhas matemáticas

Você já percebeu que os compartimentos individuais onde as abelhas depositam o mel (alvéolos) tem a forma de um polígono de 6 lados, ou seja, de um polígono hexagonal? Por que será que elas fazem essa escolha para a construção?

Bem, as abelhas buscam aproveitar o máximo do espaço disponível na colméia para armazenar o mel, seu alimento. Elas devem construir os alvéolos de tal forma onde não sobrem espaços vazios e ao mesmo tempo onde esses compartimentos tenham uma maior área possível. Assim, elas constroem hexágonos pois, dentre os polígonos regulares mais simples, são aqueles que possuem um maior número de lados e, conseqüentemente, uma superfície de maior área.

O matemático grego chamado Papus de Alexandria, que viveu entre 284 e 305 a. C, demonstrou que, entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, tem maior área aquele que tiver o maior número de lados. O interessante é perceber que as abelhas sempre souberam disso!

O retângulo áureo

A matemática está presente em todos os domínios científicos mostrando e demonstrando a sua unidade no funcionamento da natureza. Desde os caracóis aos girassóis, das imagens médicas às variações da bolsa de valores podemos encontrar a ciência dos números como base de múltiplos fenômenos. Dessa forma, muito antes da existência humana, a matemática já existia. Ao contrário do que muitos pensam, a matemática não foi criada pelo homem, mas descoberta e formalizada por ele e capaz de se fazer presente em todos os lugares e em todos os momentos.

O número de ouro, por exemplo, é um número especial na matemática. Simbolizado pela letra grega fi, o número 1,618034 apresenta algumas características fascinantes. Este número é o resultado de uma divisão considerada a mais harmoniosa a partir de um segmento. A seção áurea como é conhecida, foi usada por pintores e arquitetos no passado sendo considerada por muitos com uma oferta de Deus ao mundo e aparece também na natureza sobre diversos aspectos. Ao desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados, maior e menor, é igual ao número de ouro, obtemos um retângulo de ouro. A foto acima é do Partenon, construído em Atenas na Grécia (430 a. C), um exemplo antigo da utilização do retângulo de ouro.



O retângulo áureo ou de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitetura, na pintura e até na publicidade. Até mesmo nas situações mais práticas do nosso cotidiano encontramos aproximações do retângulo de ouro, como por exemplo, o formato dos cartões de crédito, bilhetes de identidade, assim como a forma retangular da maior parte dos nossos livros.

O retângulo áureo

O ponto M é médio no segmento AB e a medida do segmento ME é igual a do segmento MD.

Rampas, acessibilidade e trigonometria

A trigonometria é a parte da matemática que se dedica ao estudo das relações no triângulo retângulo. O triângulo retângulo é um triângulo que tem um ângulo reto (um ângulo igual a 90°). Esse ramo da matemática nasceu com a necessidade da resolução de problemas de astronomia, agrimensura, navegação e construção desde a antiguidade.

Um dos problemas interessantes e que ilustra bem a aplicação da trigonometria, em nosso dia-a-dia, é a construção de rampas. Na construção de rampas e planos inclinados, sabe-se que quanto maior a inclinação do plano maior é a dificuldade em percorrê-la. Esse é o motivo pelo qual as rampas para pedestres geralmente têm inclinação menor. As normas de acessibilidade (Decreto-lei 5296/2004) recomendam inclinação máxima de 8,33%.

Como podemos calcular a inclinação das rampas e verificar se elas estão adequadas?

A inclinação de uma rampa, em trigonometria, é chamada de tangente do ângulo beta representado no triângulo que representa uma rampa.

Assim, para calcular a inclinação (tangente do ângulo beta) devemos dividir a medida da altura da rampa (h) pela medida do afastamento (a). Se o resultado encontrado for menor do que 0,0833 (8,33%) a rampa é segura e segue os padrões de acessibilidade.

A faixa de Moebius

Imagine que você fosse uma formiguinha e que estivesse andando sobre uma fita dobrada, um pouco torcida, e com as duas extremidades coladas. Agora, você como uma formiguinha, poderia andar no lado externo e interno dessa fita sem precisar atravessar nenhum tipo de furo ou transpor sua borda. Você pode não ser uma formiguinha de verdade, mas a tal fita existe e é chamada faixa de Moebius.
A faixa de Moebius é um tipo especial de superfície onde não há lado de dentro ou de fora, ou seja, nela só há um lado e uma única borda que é uma curva fechada. A tal faixa foi descoberta pelo astrônomo e matemático alemão August Ferdinand Moebius (1790-1868).

Para construir a faixa é necessária uma faixa retangular de papel. Quando unimos as suas duas extremidades sem torcê-la formaremos um anel onde teremos um lado de dentro e de fora. Porém, se antes de unirmos as bodas, dermos uma pequena torção na faixa – meio giro ou 180º - teremos construído a faixa de Moebius. Observe como você deve unir as bordas da faixa retangular para formar a faixa de Moebius.

Na Matemática, a faixa de Moebius é um exemplo que chamamos de superfícies não-orientáveis e seu estudo deu origem a um ramo da Matemática que chamamos de Topologia. A Topologia estuda os espaços topológicos e é considerada uma extensão da geometria.
A faixa de Moebius inspirou o artista holandês Mauritus Cornelis Escher (1898-1972) em vários trabalhos que ficaram mundialmente conhecidos. A figura acima, com as formigas, é um dos seus trabalhos.

Alguns artistas ainda se inspiram no faixa de Moebius. Observe a poltrona abaixo desenhada pelo designer Roque Frizzo.